Approximation au sens de Tchebycheff

Ce document traite des approximations des fonctions continues par la méthode de Tchebycheff. Le principe est se donner une fonction f définie sur un intervalle fermé [a,b] et un entier naturel n ; peut-on représenter f par un polynôme de degré n tel que l’erreur maximale sur n’importe quel point x de [a,b] soit contrôlable ? Ce problème soulève en fait plusieurs questions, dont même Tchebychev ne pouvait donner une réponse satisfaisante : 1) Existence d’un tel polynôme ? 2) S’il existe, peut-on le construire ? 3) S’il existe, est-il unique ? 4) Que se passe-t-il si on change la mesure de l’erreur ? On définit dans ce document l'approximation au sens de Tchebycheff et on étudie la méthode de Remez pour résoudre le problème posé plus haut. Toutes les bases mathématiques du problème sont données et illustrées par des programmes informatiques sous Scilab, logiciel gratuit équivalent à Matlab.

[...] L’analyse numérique est précisément liée à cette ancienne discipline décrivant ces constructions qui ne sont plus essentielles à la compréhension de la théorie. La théorie de l’approximation est la plus aimable des sciences exactes, au sens où elle autorise la présence d’erreur. On se souvient alors de notre premier TP0 qui traitait le cas particulier des erreurs d’arrondi. Dans le cas qui va nous préoccuper ici, un objet f (nombre réel, fonction, opérateur ) mathématiquement défini mais inaccessible à des représentations élémentaires est approché par un objet plus simple p. [...]

[...] rcond = 5.5399 E-19 warning matrix is close to singular or badly scaled. results may be inaccurate. rcond = 7.2767 E-19 Approximation du polynôme de meilleure approximation = - .0169203 - .2205451X + 19.759775 X + 18.126184 X - 861.30081 X - 2288.9492 X + 13264.501 X + 124365.36 X + 244902.82 X - 3692627.8 X - 14169517X + 69495089X + 2.949 E+08X - 9.019 E+08X - 3.788 E+09X + 8.503 E+09X + 3.403 E+10X - 6.026 E+10X - 2.263 E+11X + 3.287 E+11X + 1.149 E+12X - 1.403 E+12X - 4.550 E+12X + 4.741 E+12X + 1.423 E+13X - 1.278 E+13X - 3.545 E+13X + 2.762 E+13X + 7.065 E+13X - 4.789 E+13X - 1.127 E+14X + 6.650 E+13X + 1.435 E+14X - 7.355 E+13X - 1.446 E+14X + 6.411 E+13X + 1.138 E+14X - 4.334 E+13X - 6.836 E+13X + 2.216 E+13X + 3.028 E+13X - 8.232 E+12X - 9.313 E+12X + 2.083 E+12X + 1.776 E+12X - 3.175 E+11X - 1.581 E+11X + 2.164 E+10X eprim maximale = .0007105 Nombre d'étapes = 1. [...]

[...] -->exec('remez2.sce'); = ln(x) Approximation au sens de Tchebychev Algorithme d'échange de Remez Approximation du polynôme de meilleure approximation = - 3.2878331 + 12.349883 X - 26.020172 X + 34.425129 X - 28.006848 X + 14.408271 X - 4.7677416 X + 1.0105261 X - .1324161X + .0097603X - .0003093X eprim maximale = .0213025 Nombre d'étapes = 24. Conclusion Soient une fonction continue dans un intervalle ; et = x k k n k un polynôme de degré n à coefficients réels. Considérons ce polynôme, supposé donné, comme une expression approchée de dans ; b]. La différence, positive ou négative, est l’écart au point x. Le maximum de la valeur absolue de l’écart dans l’intervalle est l’approximation fournie par P dans cet intervalle. [...]

[...] ! ! ! ! ! La commande ones(n+2,n+1) génère une matrice de taille composée que de 1. Le produit de ces deux matrices, nous donne alors la matrice composée, suivant ses colonnes, des composantes du vecteur V : -->diag(V)*ones(5,4) ans = ! ! [...]

[...] Cheney : Leçons sur l’Approximation des Fonctions d’une Variable Réelle , professées à la Sorbonne par le Comte de La Vallée Poussin (éd. 1952) : Le cours de Alphonse Magnus disponible au lien : http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/lectps.html : Le cours de N. L. Carothers disponible au lien : http://www.ni.uni-erlangen.de/at-net Pour vérifier les résultats, Alphonse Magnus met à notre disposition sur le net une application JAVA qui permet de déterminer l’erreur maximale caractérisant le polynôme de meilleure approximation à l’adresse suivante : http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/num1a/remezp.htm. [...]