Computational finance

Mémoire Comptabilité & finances Finance

Date de publication :

08/04/2008

Langue :

Français

Format :

.pdf

Nombre de pages :

37 pages

Niveau :

expert

Consulté :

4 fois

Avis client :

non évalué

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le comité Oboulo.com

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Sommaire :

Sommaire

Etape 1 : determination des volatilites standards sur la base des prix de marche
1. Objectifs de l'étape et phase préliminaire
2. Présentation de l'approche par dichotomie
3. Présentation et choix de l'algorithme de Newton Raphson
4. Lancement du calcul d'inversion
Etape 2 : interpolation par splines cubiques pour completer la matrice des volatilites et determination des prix absents
1. Objectifs de l'étape
2. Déroulement de l'étape
3. Activation de l'interpolation cubique
Etape 3 : calcul des prix absents de la matrice superieure
Etape 4 : interpolation bi-cubique des volatilites standards et determination du prix de l'option
1. Objectifs de l'étape
2. Activation du userform et saisie des paramètres
3. Interpolation bi-cubique et obtention de la volatilité interpolée
4. Calcul du prix de l'option
Un 'il critique sur la realisation du projet
1. Problèmes liés à la base de données
2. Autres méthodes d'interpolations
3. Pour aller plus loin?
Guide d'utilisation du programme

Résumé :

Aussi robuste que soit le modèle de BS, ses limites sont rapidement apparues. La volatilité effectivement utilisée par les opérateurs de marché varie selon le prix d'exercice de l'option considéré. On se souvient que dans le modèle de BS, la volatilité est censée être un paramètre constant, objectif, issu de l'estimation statistique : elle ne devrait donc pas dépendre du prix d'exercice. Pourtant l'observation du prix des options standards sur les marchés liquides révèle des anomalies. On constate en effet que le prix des options dépend de leur éloignement à la monnaie. Le calcul des volatilités implicites qui redonnent les prix de marchés par la formule de BS, permet de représenter efficacement ce phénomène. La courbe obtenue est typiquement convexe : on l'appelle l'effet « smile » car elle présente une forme de sourire (il est d'ailleurs intéressant de noter qu'après le krach de 1987, cette forme s'est modifiée sur les marchés d'actions : les options de vente hors de la monnaie sont devenues plus chères que les options d'achat hors de la monnaie ; dans ce cas les termes de « skew » ou « smirk » sont employés). Malheureusement l'existence de cet effet « smile » n'est pas conforme à la prédiction théorique du modèle de BS qui suggère non seulement une ligne horizontale, mais aussi une structure par terme des volatilités « plate ». Or, tout comme il est possible d'observer un effet « smile » de la volatilité, le marché laisse apparaître une structure par terme des volatilités. Il s'agit de la dépendance de la volatilité par rapport à la maturité. Dans le cas le plus fréquent où le marché n'est pas soumis à des pressions ou des mouvements extrêmes, on observe que la volatilité implicite des options de maturité courte est inférieure à celle des options de maturité plus longue. La structure par terme des volatilités implicites est alors croissante. Elle est décroissante lors de variations importantes du sous- jacent. En fait, si les prix de marché d'options étaient conformes à la formule de BS, toutes les volatilités implicites BS correspondant à diverses options écrites sur le même actif sous-jacent coïnciderait avec le paramètre de volatilité s de l'actif sous-jacent. Ce n'est pas le cas, dans la réalité, puisque la volatilité implicite BS dépend du temps calendaire, du temps restant jusqu'à l'expiration de l'option, et du degré de monnaie (« moneyness »)de l'option. Ce « smile » présente des caractéristiques intéressantes, notamment : - la volatilité, représentant une fonction convexe par rapport aux prix d'exercice, le minimum de cette fonction se situe à un niveau de prix d'exercice correspondant à des options très proches de la monnaie. - le « smile » de volatilité, comme fonction convexe par rapport au prix d'exercice, est assez souvent symétrique. - cependant il peut être asymétrique (c'est une situation plus fréquente depuis le krach de 1987). Cette asymétrie peut être décrite comme l'addition d'une courbe strictement monotone au « smile » symétrique standard (elle peut être interprétée par le fait que les puts hors de la monnaie sont plus chères que les calls hors de la monnaie). - l'amplitude du « smile » augmente fortement au fur et à mesure que la date d'échéance de l'option se rapproche. En effet, le « smile » est très prononcé pour des maturités courtes, tandis qu'il a presque complètement disparu pour des maturités longues ! Nous avons choisi de réaliser notre programme dans un cadre de Sticky Strike, à savoir à Strike fixé en abscisse contre le modèle Sticky Delta dépendant de la « moneyness » de l'option. De plus, le modèle Sticky Delta, s'il réagit aux mouvements du sous-jacent (contrairement au Sticky Strike qui reste fixe quelles que soient les variations du sous-jacent, caeteris paribus), est peu robuste (CF Partie IV).