La résolution de l'équation de Poisson

Lorsque l'on simule sur ordinateur l'effet d'un phénomène physique sur un corps, la représentation graphique qui nous est donnée par le logiciel utilisé n'est en fait qu'une approximation de la réalité. Nous nous proposons alors d'expliciter le raisonnement adopté par les développeurs de ce type de logiciel dans le cas de phénomènes physiques faisant apparaître une équation de poisson. L'étude qui va suivre s'inscrivant dans le cadre d'un projet mathématique, sera par conséquent plus détaillée sur l'aspect mathématique que sur l'aspect physique ou informatique. Néanmoins nous avons fait le choix de suivre un ordre chronologique partant des motivations physiques pour arriver à l'implémentation informatique. Notre étude porte essentiellement sur les problèmes d'optimisation des méthodes de l'analyse numérique. Sa mise en pratique pour la résolution de l'équation de poisson met en relief les problèmes de convergence, de rapidité et de coûts d'exécutions relatifs aux méthodes utilisées. D'une manière générale, les équations différentielles dictées par les lois de la physique peuvent être résolues par des méthodes directes ou itératives d'analyse numérique en passant de la réalité continue à une représentation discrète. C'est le procédé de discrétisation. Par la discrétisation du problème, on fait apparaître des erreurs qui se propagent différemment selon la méthode que l'on applique, c'est le problème de la stabilité numérique. L'art de l'analyse numérique consiste donc à trouver un algorithme stable spécifique au problème que l'on cherche à résoudre.