Théorie des nombres premiers et application : RSA

Exposé Sciences & technologies Mathématiques

Date de publication :

01/12/2006

Langue :

Français

Format :

.doc

Nombre de pages :

25 pages

Niveau :

avancé

Consulté :

2 fois

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Sommaire :

Sommaire

Généralités.
1. Définition d'un cryptosystéme à clés publiques.
2. Fonctions à sens unique.
3. Fonction 'trappe' ou à brèche secrète.
4. Algorithme de calcul de l'exponentielle modulaire.
Le système R.S.A.
1. Historique.
2. Principe de fonctionnement.
3. Sécurité du R.S.A.

Résumé :

La cryptographie fondée sur l'utilisation d'algorithmes à clés secrètes pose toujours un problème : Celui de la transmission des clés entre émetteurs et destinataires. Les algorithmes ont beau être très sûrs, en définitive il faut faire parvenir une ou plusieurs clés à quelqu'un pour qu'il puisse inverser le cryptage.
Si le nombre de couples communicant par cryptographie s'étend, il devient impensable d'échanger des clés en main propre à chaque fois; et trouver une personne digne de confiance pour être le messager est chose risquée. Par ailleurs transmettre des clés de décodage sans aucune protection sur un canal public de communication susceptible d'écoute n'est pas plus satisfaisant.
L'idées de la transmission des clés publiques est de permettre a des gens de s'échanger des informations cryptées sans se rencontrer pour se donner des clés, et même sans posséder d'information secrète au préalable. La sécurité de tels systèmes repose sur l'impossibilité pratique de résoudre un problème mathématique "difficile", pour lequel la recherche informatisée d'une solution se chiffre en milliers, voire milliards d'années.
L'étude des nombres premiers, Graal de l'arithmétique, et qui fascine les mathématiciens depuis des générations (leur distribution dans l'ensemble des entiers naturels et encore un sujet très actuel de recherche), n'avait pas encore débouché sur des applications vraiment concrètes.
Nous allons étudier l'un des crypto systèmes à clés publiques les plus performant et répandu. Le système R.S.A