La théorie de renouvellement et les marches aléatoires sur R

Par la lecture des chapitres XI et XII du second volume du livre « An introduction to
probability theory and its applications » de W. Feller, on étudie la théorie de renouvellement et les marches aléatoires sur R. Cela constitue nos deux premiers chapitres, où la première notion sera développée dans le premier chapitre et la seconde dans le second chapitre. On s'intéressera ensuite à quelques articles récents sur ces sujets afin de voir l'état actuel de la recherche.
L'origine de la théorie du renouvellement se trouve dans l 'analyse des problèmes de remplacements de pièces ou encore, dans l'arrivée successive de personnes dans une file d'attente. Actuellement, elle est présente dans de nombreux domaines, que ce soit dans la fiabilité des systèmes, les files d'attente (théorie des queues) ou encore dans la théorie des stocks en économie.
Une marche aléatoire sur R décrit les positions successives d'un promeneur qui se déplace à chaque moment dans une direction (soit vers la gauche, soit vers la droite) et d'une distance aléatoire. On suppose que chacun de ces pas aléatoires est indépendant des déplacements précédents et suit une même loi de probabilité. On est alors amené à se demander si notre promeneur est certain de revenir à son point de départ, de visiter tous les points de l'espace, de revenir infiniment souvent à son point de départ, etc. Cela va surtout dépendre du déplacement moyen du promeneur au cours d'un pas et de la dimension de l'espace. Notons qu'ici nous nous focaliserons seulement sur les marches aléatoires de dimension 1.
On s'intéressera ici aux variables d'échelle et aux méthodes combinatoires pour étudier ces marches aléatoires.