La transformée en ondelettes : une méthode de localisation temps-fréquence

Exposé Sciences & technologies Mathématiques

Date de publication :

29/11/2006

Langue :

Français

Format :

.doc

Nombre de pages :

20 pages

Niveau :

expert

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2 fois

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Sommaire :

Sommaire

Les transformées continues.
1. La transformée de Fourier à fenêtre glissante.
2. La transformée en ondelettes continue.
Les transformées discrètes.
1. Généralités sur les frames.
2. Les frames et la transformée de Fourier à fenêtre glissante.
3. Les frames d'ondelettes.
Les bases orthonormées.
1. Les bases orthonormées et la transformée de Fourier à fenêtre glissante.
2. Les bases orthonormées d'ondelettes.

Résumé :

L'objectif de ce document est l'étude des différents résultats sur les ondelettes et la mise en parallèle de la transformée de Fourier à fenêtre glissante et de la transformée en ondelettes, qui sont deux méthodes d'analyse temps-fréquence.
Ces méthodes comblent les limites de l'analyse de Fourier standard. En effet, la transformée de Fourier permet une analyse de l'ensemble des fréquences d'un signal f, on parle alors d'analyse spectrale. Mais, elle n'est pas localisée en temps. Ainsi, elle est très adapté pour des signaux stationnaires, étant donné leur décomposition en combinaison linéaire d'ondes. Cependant, dès que l'on veut aller un peu plus loin, comme l'étude de signaux transitoires ou d'évènements imprévisibles, nous entrons, là dans les limites de cette analyse. Prenons à présent, un exemple concret comme l'étude d'un morceau de musique qui est une séquence de notes dans l'espace temps et qui ont toutes une fréquence précise. Dans ce cas, la transformée de Fourier va seulement nous préciser les différentes notes présentes dans ce morceau et en quelle quantité. Aucune information sur le moment où telle note est joué plutôt qu'une autre n'est donné. Par contre si la transformée en ondelettes est utilisée, on saura quelle note aura été joué à quel moment et sa nature (croche, noire, blanche).
Les ondelettes sont une famille de fonctions déduites d'une fonction (ondelette-mère) par opérations de translations, dilatations et de rotations en dimension supérieure à un. Son immense champ d'application en a fait son succès actuel. On retrouve l'utilisation d'ondelettes dans des domaines de divers horizons comme les mathématiques (analyse, probabilité, fractales), le traitement du signal (compression, astronomie, sismique), la physique (mécanique quantique, turbulence), dû à sa bonne localisation à la fois en temps et en fréquence.
Nous présenterons ici ces deux méthodes. Après une première approche entre les deux transformées, nous différencierons leurs transformées continues d'une part, puis leurs transformées discrètes, d'autre part. Nous finirons par l'étude des bases orthonormées.